Evolución de la epidemia de coronavirus en México en tiempo real Moisés Santillán
Actualización al 1 de abril de 2020
El 28 de febrero de 2020, la Secretaría de Salud reportó los primeros casos positivos de coronavirus en México. Y hace casi 2 semanas empecé con este ejercicio. Creo que este es un buen momento para hacer un resumen de los diferentes análisis que presentado en estos días. En la Figura 1 grafico la evolución de los casos positivos reportados diariamente por la Secretaría de Salud (hasta el día de ayer):
Figura 1. Evolución del número de casos positivos confirmados oficialmente en México. La numeración corresponde a los días de marzo.
En la gráfica podemos ver que el crecimiento fue muy lento hasta el 10 de marzo. Sin embargo, a partir de ese día, la velocidad de aparición de nuevos casos se ha incrementado notablemente. Con el fin de identificar si la epidemia en México está creciendo exponencialmente, grafiqué los mismos datos en una escala logarítmica. Los resultados se presentan en la Figura 2. Como en dicho tipo de gráficas, las curvas exponenciales aparecen como líneas rectas, podemos ver que la epidemia en México no está creciendo exponencialmente, y que de hecho la tasa porcentual de crecimiento (que corresponde a la pendiente de la curva) ha ido disminuyendo paulatinamente.
Figura 2. Gráfica en escala semilogarítmica de los datos casos positivos de coronavirus reportados hasta el día de ayer, y el correspondiente ajuste. La numeración corresponde a los días de marzo.
En la Figura 2 también podemos apreciar que la curva de datos de casos positivos reportados se ajusta bien a la función n(t-10), definida como n(t) = a exp(b(t) t), con b(t) = exp(c t^.5) la tasa de crecimiento porcentual. En la Figura 3 grafico la evolución temporal de b(t), así como el tiempo de duplicación de la epidemia, que se calcula como ln(2) / b(t).
Figura 3. Evolución del valor estimado para la tasa de crecimiento porcentual y del tiempo de duplicación de la epidemia.
Observen que la tasa de crecimiento porcentual ha disminuido paulatinamente desde aproximadamente el 0.33% en los primeros días, hasta aproximadamente el 20%, hoy en día. Este comportamiento es muy bueno, pues significa una desaceleración en el ritmo de aparición de nuevos casos positivos. En las etapas tempranas de la epidemia estos números no representan una gran diferencia. Si hay 100 casos positivos, al siguiente día habrá 133 en el primer escenario, y 120 en el segundo. Pero si, por ejemplo, hay 20,000 casos confirmados (y nosotros llegaremos a esos números), una tasa del 33% significaría 6,600 casos nuevos diarios, en tanto que con una tasa del 20% aparecerían 4,000 nuevos casos cada día. Es fácil ver como el primer escenario conduce a una pronta saturación del sistema de salud. El segundo escenario no es tan drástico, pero aún es ocasiona el colapso del sistema. Necesitamos disminuir la tasa crecimiento de la epidemia mucho más; los países que la han controlado, lo han hecho bajando la tasa de crecimiento porcentual a 0.05 o menos.
Otro factor que es importante de tomar en cuenta es que el número actual de personas infecciosas es mayor al número de casos confirmados oficialmente. La razón es que todos los casos confirmados son diagnosticados hasta días después de que fueron infectados, y las personas portadoras del virus son contagiosas, aunque no presenten síntomas. Es decir, el número actual de casos confirmados es en realidad una fotografía antigua del estado de la epidemia. Para tener una idea de qué tan grande es la subestimación, es necesario saber qué tan largo es el retraso. Para ello, podemos hacer uso de el reporte de casos confirmados de la Secretaría de Salud. En una de las columnas se especifica la fecha en que los pacientes presentaron los primeros síntomas. Con estos datos, es posible construir una gráfica del número acumulado de personas que empezaron con los síntomas hasta una fecha determinada. Dicha gráfica se muestra en la Figura 1, junto con las de casos confirmados y la de defunciones (multiplicada por 11.1).
Figura 4. Gráficas del número acumulado de casos positivos de coronavirus (de acuerdo a los reportes de la Secretaría de Salud) como función del tiempo, así como del número de casos positivos cuyos síntomas empezaron antes del día especificado en el eje horizontal, y del número de decesos (multiplicados por un factor de 11.1).
Observen, en la gráfica de la izquierda, que las tres curvas parecen seguir la misma tendencia, aunque desfasadas entre sí. Primero aparece la curva de primeros síntomas, luego la de casos confirmados, y finalmente la de decesos. En la gráfica de la derecha, desplace la curva de primeros síntomas 8 días hacia la derecha, y la curva de decesos 9 días hacia la izquierda. Tomando en cuenta que el tiempo promedio reportado entre la aparición de los primeros síntomas y el deceso de paciente es de 17 días, el análisis aquí presentado sugiere que hay un retraso de aproximadamente 8 días entre que un paciente presenta síntomas y su caso es confirmado. De este análisis también podemos estimar la mortandad de la epidemia, como el inverso del factor por el que multipliqué a la curva de decesos para que coincidiera con la de casos positivos al desplazarla a la izquierda: 1/11.1 = 0.09. Según este razonamiento, la tasa de mortandad hasta el momento sería del 9%. Casi el doble del promedio mundial (4.8%). Aún hay pocos datos como para pensar que ésta es una estimación precisa. De confirmarse, podría significar que la mortandad en México va a ser mucho más elevada que en otras partes del mundo (cosa que ya había anticipado en cierta medida la OMS, pues somos el país con el mayor índice de obesidad), o bien que los datos confirmados oficialmente subestiman la cantidad real de casos más o menos por la mitad.
Una vez conocido el retraso que hay entre la infección y la confirmación de un caso, es posible extrapolar la función de ajuste del número de casos reportados, para estimar el número actual de portadores del virus. Dicha estimación se muestra en la Figura 5. Podemos ver que, gracias a que no se ha mantenido la tendencia exponencial, las cosas son bastante menos dramáticas ahora. Esto también se ve reflejado en el hecho de que, alrededor del 10 de marzo, el número de casos reales era entre 10 y 20 veces más grande que el número de casos positivos reportados, en tanto que hoy en día, esta diferencia se ha reducido a un factor de más o menos 3. Estimo que actualmente tenemos alrededor de 3,000 casos positivos, en lugar de los más de 10,000 que tendríamos si se hubiera mantenido el crecimiento exponencial.
Figura 5. Gráfica en escala semilogarítmica de los datos casos positivos de coronavirus reportados hasta el día de ayer, y el ajuste correspondiente. La línea verde corresponde a la estimación de casos positivos actuales. La numeración corresponde a los días de marzo.
En la Figura 6, muestro la comparación entre la evolución de la epidemia en México y otros países. Se puede ver que nuestra tendencia no es la misma que la de España, Estados Unidos o Italia, que sería un escenario muy desalentador para nosotros. Sin embargo, no hemos podido manejar la epidemia tan bien como lo hizo Japón. Hoy se cumplen 9 días del inicio de la Jornada Nacional de Sana Distancia. Tomando en cuenta el retraso arriba descrito, yo esperaría que la tasa de crecimiento porcentual empiece a caer paulatinamente. La caída deberá de pronunciarse aún más hacia el 5 de abril, cuando empezaremos a ver los efectos de inicio de la cuarentena a nivel. Esta forma de comparar las curvas entre países (alineándolas al momento en que se alcanzó un número determinado de casos positivos) es en cierta medida equivalente a normalizarlas con respecto a dicho número, y por lo tanto elimina errores sistemáticos debidos a el uso de diferentes metodologías de muestreo en la aplicación de las pruebas. Así, aunque el número de casos positivos reales esté subestimado por diferentes factores, esta gráfica nos permite comparar la evolución de las tendencias de crecimiento de manera objetiva.
Figura 6. Comparación de la evolución de la epidemia en México con otros países. Las curvas se han alineado de manera que el tiempo cero corresponda al primer día en que se superaron los cien casos.
He podido conseguir las series de tiempo de la Ciudad de México, Nuevo León y Yucatán. Podemos ver en la Figura 7 que el crecimiento en las tres entidades inició a un ritmo más lento que a nivel nacional. Esto podría deberse a que, una vez que la epidemia llega a un estado, la gente comienza a tomar precauciones casi de inmediato. Sin embargo, en los demás estados la gente había continuado con su vida normal, cosa que podría haber facilitado el contagio. Otra cosa que llama la atención es que las curvas de crecimiento de Nuevo León y Yucatán se han aplanado bastante, mientras que la de la Ciudad de México apenas empieza a hacerlo. Esto podría deberse a que Yucatán y Nuevo León empezaron a imponer medidas de distanciamiento social y cuarentena más de una semana antes que en el resto del país.
Figura 7. Comparación de la evolución de la epidemia de coronavirus a nivel país, con la Ciudad de México, y los estados de Nuevo León y Yucatán. Las curvas se alinearon de forma que el tiempo cero corresponde al momento en que se sobrepasaron los diez casos positivos reportados.
De lo expuesto anteriormente, podemos ver que tenemos ciertas razones para estar optimistas. Sin embargo, nuestro optimismo debe de ser moderado. Cuando aparece una enfermedad nueva, para la que no hay cura ni vacuna y además es muy contagiosa (justamente las características del SARS COVID-19), es imposible impedir una epidemia global (una pandemia). La epidemia se detiene en cada país sólo hasta que una proporción importante de la población se ha infectado, y entonces se convertirá en una más de las enfermedades respiratorias que con las que convivimos. Eso es justo lo que pasó con la pandemia del virus AH1N1 hace 11 años. A menos que pronto aparezcan una vacuna o un antiviral efectivo, lo único que podemos hacer es administrar qué tan rápido se va a propagar la epidemia en nuestro país. Si se propaga demasiado rápido, pronto vamos a tener más enfermos de los que nuestro sistema de salud puede atender, y muchos pacientes de esta y otras enfermedades morirán por no haber recibido atención médica oportuna. Si logramos que la velocidad de contagio baje lo suficiente, podremos garantizar atención médica oportuna a todos los que lo requieran. Pero que no nos quede duda. Va a haber más y más casos positivos. Y llegaremos a las decenas, o tal vez centenas, de miles. Y eso nos va a afectar mucho como país en todos los aspectos. La idea es, mitigar la afectación lo más posible.
¿Qué podemos hacer? Dadas las circunstancias, la herramienta más eficiente para desacelerar la epidemia es el distanciamiento social. Manejado correctamente, puede garantizar que el número de pacientes enfermos simultáneamente nunca sea tan grande que sature nuestros hospitales. Pero no todo es miel sobre hojuelas, pues una curva de crecimiento lenta también significa que debemos de prepararnos para mantener nuestros esfuerzos por un tiempo prolongado. Para explicar lo anterior, desarrollé un modelo matemático que simula la propagación de una epidemia con características dinámicas similares a la actual de coronavirus. La epidemia se propaga en una red en la que los enlaces entre nodos tienen una distribución análoga a la de las redes sociales. En dicha red, los nodos representan familias, y los enlaces entre nodos corresponden a las interacciones entre integrantes de familias diferentes, que pueden dar lugar a contagios.
Figura 8. Resultados de la simulación de una epidemia con características similares a la actual de coronavirus, en una red con una distribución de enlaces por nodo análoga a las redes sociales.
En la Figura 8 podemos ver los resultados de una simulación típica en la que no hay ningún tipo de intervención. Podemos ver que, al principio, la epidemia progresa de manera exponencial. Pero eventualmente se detiene y luego empieza a disminuir. La razón de la desaceleración y la posterior caída en el número de individuos infectados/contagiosos, es que eventualmente se agotan los individuos susceptibles de ser contagiados (pues la gran mayoría ya se infectaron y/o se recuperaron). Uno podría pensar que este comportamiento no representa un problema, pues la epidemia se extingue sola. Sin embargo, podemos notar que en enfermedades tan contagiosas como el coronavirus, en determinado momento más la mitad de la población puede estar infectada simultáneamente. Por lo tanto, aunque la fracción de individuos que requieran atención hospitalaria sea baja, un bajo porcentaje de la mitad de la población son muchas, muchas personas, que saturan cualquier sistema hospitalario.
Figura 9. Simulación de diferentes escenarios de cuarentena y distanciamiento social, y comparación con el caso en el que no se interviene en la dinámica de la epidemia.
En la Figura 9 se presentan los resultados de diferentes escenarios de políticas encaminadas a retrasar el avance de la epidemia en la red. Una de las estrategias consideradas es poner en cuarentena a la mitad de las familias (esto se consigue eligiendo al azar la mitad de los nodos, e impidiendo que interactúen con el resto). Aunque suene conservador, poner en cuarentena a una fracción grande de la población es difícil de conseguir en un estado democrático. Por otra parte, nuestras ciudades necesitan que muchas personas salgan a trabajar para seguir funcionando. En la simulación podemos ver que, aunque una cuarentena de esta magnitud logra atenuar la epidemia, no es suficiente. En algún momento, una fracción elevada de la población se enferma simultáneamente. Lo mismo sucede si, mediante el distanciamiento social, se consigue que las familias reduzcan al 50% sus interacciones con otras familias (esto se simula generando redes en las que el número promedio de enlaces por nodo disminuye al 50%). Sin embargo, si se combinan ambas estrategias, es posible aplanar mucho, mucho la curva de infecciosos, de manera que los hospitales nunca se saturen. Pero este éxito tiene un precio. En lugar de que el pico de infección ocurra en un mes, aparece hasta los tres meses. La razón de esto es que, como dije anteriormente, una epidemia se extingue hasta que se acaban los individuos susceptibles. Así, si aplanamos la curva de infecciosos, disminuyendo la tasa de contagios, los individuos susceptibles tardarán más en agotarse, y la epidemia durará mucho más tiempo.
En conclusión, debemos de prepararnos y ser pacientes. Esto va para largo, sobre todo si logramos controlar la epidemia. Entiendo perfectamente que pasar tres meses encerrados en nuestras casas es una tarea titánica. Sin embargo, si en el siguiente mes logramos que el tiempo de duplicación supere los diez días, probablemente podamos empezar a relajar las restricciones poco a poco. Pero tendremos que ser muy cuidadosos por al menos tres meses más. Mal haríamos si pensamos que en unas pocas semanas volveremos a hacer nuestra vida normal, pues la epidemia podría repuntar, y todo el esfuerzo hecho hasta ahora sería en vano.
A partir del ajuste realizado, estimo que al final de la jornada, el número de casos confirmados a nivel nacional será de alrededor de 1,425. A continuación, presento las tablas de predicciones diarias, y los datos oficiales reportados posteriormente.
Fecha
Predicción
Reporte
16/3
84
82
17/3
125
93
18/3
150
118
19/3
164
20/3
218
203
21/3
267
251
22/3
324
316
23/3
403
367
24/3
440
405
25/3
452
475
26/3
537
585
27/3
720
717
28/3
850
848
29/3
990
993
30/3
1,115
1,094
31/3
1,240
1,215
1/4
1,425
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